来自台湾的奥数难题，我用40分钟才做出来（19年8月30日）

家长是孩子最好的老师，

这是奥数君第952天给出奥数题讲解。

今天的题目是综合应用题，

来自台湾的一次数学竞赛，

解题所用知识不超过小学5年级。

解题思路虽然难了一点，

但让孩子花点时间认真看懂学透，

比做10道简单题目要有用的多。

把一道难题吃懂学透，

是提升思维能力的最有效手段。

题目（超5星难度）：

99个砝码共重198克，每个砝码都是整数克，且这些砝码中的任意个组合起来，都不会是99克。请问这些砝码可能的重量是多少？

辅导方法：

将题目写给小朋友，

让他自行思考解答，

若20分钟仍然没有思路，

再由家长进行提示性讲解。

讲解思路：

这道题属于综合应用题，

解题时需要用到鸽笼原理，

即3只鸽子装进2个笼子，

定有1个笼子中至少2只鸽子。

这个原理看似简单，实则妙用无穷，

数学上的很多难题都能用它解决。

为解题方便，

假设这些砝码重量从小到大依次是

a(1),a(2),a(3),…,a(99)。

总的解题思路是：

先判断a(1)和a(2)除以99的余数是否相同，

再判断这99个数除以99的余数是否相同，

最后求出这99个数。

步骤1：

先思考第一个问题，

a(1)和a(2)除以99的余数是否相同?

考虑如下的序列，

a(1),a(2),a(1)+a(2), a(1)+a(2)+a(3),

a(1)+a(2)+a(3)+a(4),…, a(1)+a(2)+…+a(99),

任何一个数除以99的余数有99种不同可能，

将这99种不同可能看作鸽笼，

将上面100个数除以99的余数看作鸽子，

应用鸽笼原理可得，

这100个数中有两个数除以99的余数相同。

根据任意一些砝码都组合不出99克的条件，

只能是a(1)和a(2)除以99的余数相同，

否则就会有一些砝码能组合出99克了。

因此a(1)和a(2)除以99的余数相同。

步骤2：

再思考第二个问题，

对a(1),a(2),a(3),…,a(99)这99个数，

它们除以99的余数是否相同？

将这个数列再重复一遍变成198个数，

即对正整数k，当k在1到99之间时，

令a(99+k)=a(k)。

考虑如下的序列，

a(k),a(k+1),a(k)+a(k+1), a(k)+a(k+1)+a(k+2),

…, a(k)+a(k+1)+…+a(k+98),

则类似于步骤1的做法可得：

a(k)和a(k+1)除以99的余数相同。

因此上面99个数除以99的余数相同。

步骤3：

综合上述两个问题，

考虑原题目的答案。

在步骤2的结论中，

假设这99个数除以99的余数都是d，

由于a(1)+a(2)+…+a(99)=198，

而198=99*2，

故d一定不大于2。

又因为d不可能是0，

因此d等于1或2,

下面将对此分别讨论：。

当d=1时，

显然这99个数是1,1,1,…,1,1,100,

其中有98个1和1个100；

当d=2时，

显然这99个数全部是2。

所以原题的答案有两组，

第一组是1,1,1,…,1,1,100；

第二组是2,2,2,…,2,2。

思考题（3星难度）：

原题目改个数字。

100个砝码共重200克，每个砝码都是整数克，且这些砝码中的任意个组合起来，都不会是100克。请问这些砝码的重量有多少种不同的可能？

微信回复“20190830”可获得思考题答案。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。

江湖传说：在右下角点个“在看”，您会变的更好看。

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